APLICACIONES DE LA INTEGRAL
I Parte Área de una región entre dos curvas
Con pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por debajo de una curva, al área comprendida de una región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura.
Si bien en la figura se muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) - g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x) " f(x) en el intervalo [a, b].
Parte Volumen método de discos
Otra aplicación importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Si giramos una región del plano alrededor de una línea, el sólido resultante es conocido como sólido de revolución y la línea como eje de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo como se muestra en la figura. El volumen de este disco es:
Volumen del disco = R2w
Donde R es el radio del disco y w es la anchura.
Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, considérese el sólido de revolución obtenido al girar la región plana de la figura alrededor del eje indicado. Para calcular el volumen de este sólido, consideremos un rectángulo representativo en la región plana. Cuando se gira este rectángulo alrededor del eje de revolución, genera un disco representativo cuyo volumen esV = R2 x.
Si aproximamos el volumen de un sólido por n de tales discos de anchura x y de radio R(xi), tenemos
nn
Volumen del sólido [R(xi)]2 x = "[R(xi)]2 x
i=1 i=1
Tomando el límite |||| ! 0 (n! "), tenemos n
Volumen de un sólido = lim" [R(xi)]2 x =
[R(x)]2 dx
n =" i=1
Esquemáticamente, representamos el método de discos:
Fórmula vista Elemento Nueva fórmula
En precálculo Representativo de integración
Ejemplo 2.1
Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por la gráfica
III Parte Métodos de capas
Mostrar en un gráfico al área cuestión, una franja representativa paralela al eje de revolución y el rectángulo aproximadamente.
Escribir el volumen (=circunferencia media x la altura x espesor) de la capa cilíndrica engendrada al girar el rectángulo aproximante en torno al eje de revolución, y sumar para n rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Si el eje de revolución es el eje y, y el área plana, en el primer cuadrante, está acotada abajo por el eje x , arriba por y = f(x), a la izquierda por x= a y a la derecha por x = b, entonces el volumen V viene dado por:
Análogamente, si el eje de rotación es el ejes x y el área plana, en el primer cuadrante, está limitada a la izquierda por el eje y, a la derecha por x = f(y), superiormente por y = d , e inferiormente por y = c, entonces el volumen V viene dado por:
Ejemplo 3.1
Hallar el volumen generado al girar el área acotada por la parábola
y2= 8x y su latusrectum (x = 2) en torno al latusrectum
Solución: Dividimos el área plana horizontalmente. Cuando el rectángulo aproximante se hace girar en torno al latusrectum, se genera un disco de radio 2 - x, altura y, y volumen (2 - x)2y. El volumen requerido es:
IV Parte Trabajo
Fuerza Constante
El trabajo W realizado por una fuerza constante F que actúa a lo largo de una distancia s sobre una línea recta es de Fs. unidades.
Fuerza Variable
Consideremos una fuerza que varía continuamente y actúa a lo largo de una línea recta. Sea x la distancia dirigida del punto de aplicación de la fuerza a un punto fijado de ka recta y sea la fuerza dada como una cierta función F(x) de x. Para hallar el trabajo realizado al moverse el punto de aplicación desde x = a hasta x = b.
O a xk b
kx
1. Dividir el intervalo a " x " b en n subintervalos de longitudes kx y sea x cualquier punto del k- hicimos un intervalo.
2. Supongamos que durante el desplazamiento sobre el k- hicimosun intervalo la fuerza es constante e igual a F(xk). El trabajo realizado en ese desplazamiento es entonces F(xk) kx y el trabajo total realizado viene dado
FUERZA SOBRE UN ÁREA SUMERGIDA
La siguiente figura muestra un área plana sumergida verticalmente en un líquido de peso w libras por unidad de volumen. Tomemos el área en el plano xy, con el eje x en la superficie del líquido y el eje y positivo dirigido hacia abajo. Dividimos el área en franjas (siempre paralelas a la superficie del líquido) y aproximamos cada una con un
Denotemos por h la profundidad del lado superior del rectángulo representativo de la figura. La fuerza ejercida sobre este rectángulo de anchura ky y longitud xk = g(yk) es wYkg(yk) ky, donde Yk es algún valor de y entre h y h + ky. La fuerza total sobre el área plana es, por:
Por lo tanto, la fuerza ejercida sobre un área plana sumergida verticalmente en un líquido es igual al producto del peso de una unidad de volumen del líquido por el área sumergida y por la profundidad del centroide del área que está bajo la superficie del líquido. Debe usarse esto, más bien que una fórmula, como a principio a la hora de establecer tales integrales.
Ejemplo
Hallar la fuerza sobre una cara del rectángulo sumergido en agua como indica el gráfico. El agua pesa 62.5 libras/pies2.
Superficie del agua
2'
8'
El área sumergida es de 16 pies2 y su centroide está 1 pie bajo el agua. Por tanto,
F = peso específico x área x profundidad del centroide
= 62.5 libras/pies2 x 16 pies2 x 1 pies = 100 pies
Parte VI Momentos ,centroides y centro de masa
Momentos de inercia de áreas planas y sólidos de revolución
El momento de inercia IL de un área plana A con respecto a una recta L en su plano se puede hallar como sigue:
Dibujar el área, mostrando una franja representativa paralela a la recta y el rectángulo aproximante.
Hacer el producto del área del rectángulo por el cuadrado de la distancia de su centroide a la recta y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
El momento de inercia de un sólido de volumen V generado al girar un área plana en torno a una recta L en su plano, con respecto a la recta L, se puede calcular así:
Dibujar una franja representativa paralela al eje x y mostrar el rectángulo aproximante.
Hacer el producto del volumen generado al girar el rectángulo en torno al eje (una capa) por el cuadrado de la distancia del centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
RADIO DE GIRO
El número positivo R definido por la relación IL = AR2 en el caso de un área plana A, y por IL = VR2 en el caso de un sólido de revolución, se llama radio de giro del área o volumen con respecto a L.
Ejemplo
Hallar el momento de inercia de un área rectangular A de dimensiones a y b con respecto a uno de sus lados.
Tomamos el rectángulo como en la siguiente gráfico, con el lado en cuestión sobre el eje y.
y
O x x
El rectángulo aproximante tiene área = b x y centroide (x,½b). Por tanto, su elemento de momento es x2b x.
El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales.
El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la siguiente manera:
Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante,
Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.
Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.
Para un área plana A con centroide () y momentos Mz y My con respecto a los ejes x e y,
= 0
Ejemplo 6.2
Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.
X=3
Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución
Centroide de un arco
Las coordenadas () del centroide de un arco AB de una curva plana de ecuación F(x, y) = 0 o' x = f(u), y = g(u) satisfacen las relaciones :
Momentos de inercia de un arco
Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un fragmento de hilo fino homogéneo, por ejemplo) vienen dados por:
El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe un círculo de radio c. Entonces S = 2(a + b)(2c)=4(a + b)c por el segundo teorema de Pappus.
c
VII Parte Longitud de arco y superficies de revolución
Longitud de un arco
La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2....,P n-1 B, que unos puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero.
Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos sobre la curva y = f(x), donde f(x) y su derivada f'(x) son continuas en el intervalo a " x " b, la longitud del arco AB viene dada por:
en torno a una recta de su plano es por definición el límite de la suma de las áreas generadas por las n cuerdas consecutivas AP1, P1, P2..., P n -1 B que unen los puntos del arco, al girar en torno a dicha recta, cuando el número de cuerdas crece indefinidamente de manera tal que la longitud de cada una de ellas tiende a cero.
Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva y = f(x), donde f(x) y f'(x) son continuas y f(x) no cambia de signo en el intervalo a " x " b, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por:
Sx = y ds =dx
Cuando, además, f'(x) " 0 en el intervalo, una forma alternativa es:
Sx = y ds =dy
Si, A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva x = g(y), donde g(y) y su derivada respecto de y satisfacen propiedades similares a las citadas en el párrafo anterior, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje y viene dada por:
Sy = x ds =dx =dy
Si a (U = u1) y B (u=u2) son dos puntos de la curva definida por las ecuaciones para métricas x = f(u), y = g(u) si se cumplen condiciones de continuidad, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por :
y el área generada al girar el arco AB en torno al eje y por:
Ejemplo
Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y2 + 4x = 2 ln y entre y = 1 e y = 3.
Sx = dy =
Conclusión
Este trabajo nos sirvió para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la ingeniería primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas.
Esto no quiere decir que sólo con la realización de este trabajo, sea entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que sólo se lograría esto mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso.
DESARROLLO
Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología.
Integración numérica
Veamos una aplicación muy particular de la integral que presenta una visión muy amplia, ya que permite resolver las integrales por medio del cálculo numérico, utilizando desde la calculadora más simple hasta la más sofisticada computadora:
En muchas situaciones en que se ha de resolver una integral definida no se cuenta con la expresión de f(x) y sí con datos en una tabla. O suele también ocurrir que no es simple obtener una anti derivada para f(x) y aplicar directamente el Teorema Fundamental. En estas situaciones se aplica el cálculo numérico que fue el que motivó la definición de integral.
Observa la siguiente gráfica en la que en lugar de aproximar la curva mediante rectángulos se han aplicado “trapecios”:
Cuando hablamos de integración, nos estamos refiriendo a un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente del área del calculo y del análisis matemático (cualquiera que esta sea, ya que el área matemática abarca todos los campos del conocimiento).
Las integrales son básicamente, una suma de infinitos sumandos, los cuales son infinitamente pequeños.
La definición de integral se dice como sigue:
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral
Es igual al área de la región del plano xy limitada entre la grafica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
Aunque muchas veces no se puede apreciar, las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos como ejemplo el de una alberca (o el del Acuario de Veracruz, que tiene un túnel redondo), el cual si es rectangular no hay mas problema que el de calcular su área a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla); pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades piden integrales, ya que se calcularían áreas bajo curvas.
Otras aplicaciones prácticas se encuentran en áreas como:
ECONOMIA: Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso en una población; maximización de la utilidad con respecto al tiempo; superávit del consumidor y del productor;
PEDAGOGIA: Curvas de aprendizaje
FINANZAS: Valor presente de un ingreso continuo
FISICA Y MECANICA: Área de una región en el plano; área de una región comprendida entre dos curvas; volúmenes de sólidos; calculo del trabajo y esfuerzo.
INTEGRAL DEFINIDA: “Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”--- Isaac Newton.
El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.
Ejemplos: Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula
“sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:
y sus partes son:
a: representa los términos de la sumatoria
Ak: representa el término k-ésimo de la sumatoria
an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria
k: es el índice de la sumatoria
1: es el límite inferior de la sumatoria
n: es el límite superior de la sumatoria
Gráfica 1.
Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).
Gráfica 2.
Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base
x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.
Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista
xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:
de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:
Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:
,
Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que
xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).
Gráfica 3.
De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:
que es equivalente a, con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,
Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.
Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen.
Toda la expresión se lee, integral de f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.
ÁREA ENTRE CURVAS:Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.
El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.
Gráfica 4.
Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.
Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:
Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.
SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.
Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.
Método de los discos
Gráfica 5.
Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.de aquí, deducimos que, por lo tanto, dado que el volumen esta entre a y b,
De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.
Método de las arandelas
Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.
Gráfica 6.
Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,
, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].
Método de los casquillos cilíndricos
Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.
Ejemplo: Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es:
V=2
(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)
en nuestro caso es:
Gráfica 8.
Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del volumen del sólido, así:
Gráfica 9
Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:
Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.
VOLÚMENES POR REBANADAS: Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:
Donde, era el área de la sección circular y
x el espesor del disco.
Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.
Gráfica 10.
Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:
y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.
LONGITUD DE ARCO:Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.
Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.
De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:
Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.
Gráfica 11.
Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a, b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde
es la partición correspondiente de [a, b] tal que
a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b
Con esto, siendo, estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:
Para:y podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:
Tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común (
x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:
Ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:
O equivalente, así, podemos decir que realmente es equivalente a que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN: Ya hemos usado la integral definida para hallar volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular áreas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolución, estas no son más que la superficie exterior de cualquier sólido de revolución.
Para poder calcular el área de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el área superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.
Gráfica 12.
Consideremos la figura de la Gráfica 12b, donde:
L: es la longitud del segmento
R: es la distancia de un extremo al eje de rotación
R: es la distancia del otro extremo al eje de rotación
Con los datos anteriores, podemos afirmar que el área del tronco de cono es:
Gráfica 13.
Supongamos que la función f(X), de la Gráfica 13, tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Sea
una partición de [a,b] en subintervalos de anchuras
xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud:
Genera un tronco de área lateral,
Si y la podemos definir como:
y por aplicación del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que por lo tanto concluimos que del mismo modo podríamos demostrar que, si la gráfica de f(x), gira alrededor del eje y, el área S, viene dada por y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotación podemos calcular el área de revolución.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
A LA INGENIERÍA ELÉCTRICA
CAMPOS ELÉCTRICOS: Un campo eléctrico en un punto se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba positiva, situada en ese punto dividida por la magnitud de la carga de prueba q0:
Este campo eléctrico, es producido por algún agente externo, directamente sobre la partícula y no de la partícula sobre el agente externo. Debemos considerar también, que el campo eléctrico siempre estará allí, sin importar si hay o no partícula, sobre la cual actúe la fuerza. Para aplicar la ecuación anterior, debemos suponer que la carga de prueba es tan pequeña que prácticamente no afecta al agente externo, de manera que la distribución del campo eléctrico es uniforme, es decir, que si hay una partícula que cambia su posición dentro del campo eléctrico, pero que estas posiciones sean equidistantes del agente que produce el campo eléctrico, este tendrá la misma magnitud sobre estas partículas.
Consideremos una carga puntual q localizada a una distancia r de una carga de prueba q0 de acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por q es:
Como el campo eléctrico en la posición de la carga de prueba está definido por que encontramos que, en la posición de q0, el campo eléctrico formado por q esdonde, es un vector unitario orientado de q a q0, si q es positiva, el campo eléctrico estará dirigido radialmente hacia fuera, y si es negativa, el campo será dirigido hacia si misma.
Ahora, si queremos calcular el campo eléctrico, en un punto P, debido a un grupo de cargas puntuales, primero calculamos el campo para cada una de las cargas puntuales y luego hacemos la suma vectorial, es decir, que el campo eléctrico total debido a un grupo de cargas es igual al vector suma de los campos eléctricos de todas las cargas.
Donde ri, es la distancia desde la carga i-ésima ,qi, hasta el punto P, y es un vector unitario dirigido de qi a P.
Campo Eléctrico de una distribución de carga continua
Con frecuencia un grupo de cargas se localizan muy cercanas unas de otras en comparación con sus distancias a puntos a en los cuales se pretende calcular el campo eléctrico. En estos casos, el sistema de cargas puede considerarse como continuo, es decir, que el sistema de cargas, con un espaciamiento muy pequeño entre ellas, es como si fuera una sola carga distribuida continuamente sobre una superficie o un volumen.
Para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga continua, se recurre al siguiente procedimiento:
Primero dividimos la distribución de carga en pequeños elementos con una pequeña carga q en cada uno de ellos y con la ley de Coulomb, calculamos el campo eléctrico para una de estas divisiones en un punto P.
de aquí deducimos que el campo eléctrico E, total en el punto P, debido a todos los elementos de la distribución de carga es:donde el subíndice i se refiere al i-ésimo elemento en la distribución. Ahora si la distancia entre cada uno de esos elementos es muy pequeña comparada con la distancia al punto P, la distribución de carga puede considerarse aproximadamente continua y el campo se total se puede calcular haciendo el límite cuando qi tienda a cero y se convierte ende esta manera aplicamos la integral definida para hallar un campo eléctrico, aprovechando que esta está definida como una suma.
Ejemplo:
Campo eléctrico debido a una barra cargada
Una barra de longitud l tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria y una carga total Q. Calcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo.
Para solucionar este problema, asumimos que la barra se encuentra sobre el eje x.
x representa un pequeño segmento de la barra de tal forma que
q representa la carga en ese segmento. Debido que la proporción entre
q y
x es igual a la proporción entre la carga total y la longitud de la barra, es decir,
de aquí podemos deducir que:
El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a distintas distancias desde P, se puede calcular haciendo la integral definida:
Veamos que aquí los límites de la integral se extienden desde un extremo de la barra (x=d) hasta el otro lado (x=l+d). Como ke y son constantes se pueden sacar de la integral,
Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente
Cuando una partícula cargada aislada se mueve a través de un campo magnético, esta experimenta sobre sí misma una fuerza magnética. De igual forma sucede con un alambre que conduce corriente cuando es sometido a dicho campo; esto se debe a que la corriente representa una colección de partículas cargadas en movimiento; por lo tanto la fuerza que experimenta el alambre es el resultado de la suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre las partículas cargadas del alambre.
Consideremos un segmento de alambre recto, de longitud L y área de sección transversal A, que conduce una corriente I en un campo magnético uniforme B.
La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con velocidad de arrastre vd es qvd × B. Para calcular la fuerza total sobre el alambre, multiplicamos la fuerza sobre una carga, por el número de cargas del segmento. Ya que el volumen del segmento es AL, el número de cargas en el segmento es nAL, donde n es el número de cargas por unidad de volumen. De ahíabreviando la expresión, decimos quedonde L, es el vector director de la corriente I y la magnitud de L es la longitud del segmento.
Ahora si consideramos un segmento de alambre de forma arbitraria y desección transversal uniforme en un campo magnético, podemos deducir que la fuerza magnética sobre un segmento pequeño ds en presencia de un campo B esde aquí podemos deducir quepara I, que es constante y a, b que son los extremos del cable.
CONCLUSION
Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables con otras definiciones, pero también en ocasiones por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Consideremos una piscina. Si es rectangular, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, todas estas cantidades deben ser calculadas mediante integrales. Al comienzo puede ser suficiente con aproximaciones prácticas, pero al final harán falta respuestas exactas y rigurosas a este tipo de problemas.
subintervalos se toman doce y se toma el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el área, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeño. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación Concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx). Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada
donde 0 y 1
son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = xq, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como
Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el límite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación
A partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo. Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no sólo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal. A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos. Integral de Riemann
Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.
La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita
y denotamos la partición como
Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.
Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi−1, xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi−1, xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchura del subintervaloi; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como
Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:
Para todo ε > 0 existe x δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene
dende:
Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux. Integral de Darboux
La Integral de Darboux se define en términos de sumas de los siguientes tipos:
Llamadas suma inferior y superior respectivamente, donde
son las alturas de los rectángulos, y xi-xi-1 la longitud de la base de los rectángulos.
La Integral de Darboux está definida como el único número acotado entre las sumas inferior y superior, es decir,
La interpretación geométrica de la integral de Darboux sería el cálculo del área de la región en [a,b] por el Método exhaustivo. La integral de Darboux de una función f en [a,b] existe si y sólo si
Del Teorema de Caracterización que dice que si f es integrable en [a,b] entonces ∀ε>0 ∃P partición de [a,b] : 0≤U(f,P)-L(f,P)≤ε, evidencia la equivalencia entre las definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que
Integral de Lebesgue
Integración de Riemann-Darboux (azul) e integración de Lebesgue (rojo).
La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.8 La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada. Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos. Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:9 "Para calcular la integral de Riemann de f, se partición a el dominio [a, b] en subíntralos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está particionando es el recorrido de f". Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un medible por:
Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:
(Donde la imagen de Ai al aplicarle la función escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible, se define
Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir
Finalmente, f es Lebesgue integrable si
y entonces se define la integral por
Cuando el espacio métrico en el que están definidas las funciones es también un espacio topológicolocalmente compacto (como es el caso de los números reales R), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado (medidas de Rodón, de las cuales es un ejemplo la medida de Lebesgue) una integral respecto de ellas se puede definir de otra manera, se empieza a partir de las integrales de las funciones continuas con soporte compacto. De forma más precisa, las funciones compactamente soportadas forman un espacio vectorial que comporta una topología natural, y se puede definir una medida (Rodón) como cualquier funcional lineal continuo de este espacio; entonces el valor de una medida en una función compactamente soportada, es también, por definición, la integral de la función. Entonces se continúa expandiendo la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función característica. Este es el enfoque que toma Bourbaki10 y cierto número de otros autores. Para más detalles, véase medidas de Rodón. Las integrales que se encuentran en los cursos básicos de cálculo han sido elegidas deliberadamente por su simplicidad, pero las que se encuentran en las aplicaciones reales no siempre son tan asequibles. Algunas integrales no se pueden hallar con exactitud, otras necesitan de funciones especiales que son muy complicadas de calcular, y otras son tan complejas que encontrar la respuesta exacta es demasiado lento. Esto motiva el estudio y la aplicación de métodos numéricos para aproximar integrales. Hoy en día se usan en la aritmética de coma flotante, en ordenadores electrónicos. Para los cálculos a mano surgieron muchas ideas mucho antes; pero la velocidad de los ordenadores de uso general como el ENIAC crearon la necesidad de mejoras. Los objetivos de la integración numérica son la exactitud, la fiabilidad, la eficiencia y la generalidad. Por ejemplo, la integral
Que tiene el valor aproximado de 6.826 (en la práctica ordinaria no se conoce de antemano la respuesta, por lo que una tarea importante — que no se explora aquí — es decidir en qué momento una aproximación ya es bastante buena.) Un enfoque de "libro de cálculo" divide el intervalo de integración en, por ejemplo, 16 trozos iguales, y calcula los valores de la función.
| Valores de la función en los puntos |
| x | −2,00 | −1,50 | −1,00 | −0,50 | 0,00 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 |
| f(x) | 2,22800 | 2,45663 | 2,67200 | 2,32475 | 0,64400 | −0,92575 | −0,94000 | −0,16963 | 0,83600 |
| x |
| −1.75 | −1,25 | −0,75 | −0,25 | 0,25 | 0,75 | 1,25 | 1.75 | |
| f(x) | | 2,33041 | 2,58562 | 2,62934 | 1,64019 | −0,32444 | −1,09159 | −0,60387 | 0,31734 | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Algunas aplicaciones
Valor medio de una función
Para calcular el valor medio m de una función f en un intervalo [a,b] se usa la siguiente fórmula:
Nótese que, si la función f es una función escalonada con escalones de igual anchura, esta definición coincide con la media aritmética de los valores de la función. Si los escalones tienen anchuras diferentes, entonces coincide con la media aritmética ponderada donde el valor de la función en cada escalón se pondera con la anchura del escalón. Por lo tanto, esta definición se puede entender como la extensión natural de la media. Aplicaciones en física
Muchas leyes de la física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral. Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:
El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba. Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:
El resultado de esta integral es:
Se incluyen aquí los ejercicios para calcular integrales definidas y sus respuestas
Ejercicio 1 : Calcule las siguientes integrales definidas:
SECCION HUMORISTICA
"señor, señor
Tiene pan integral,
No pero si quiere
Le derivo una tostada"
Por que se
Suicido el libro de
Matemáticas?
Por que tenía
Muchos
Problemas!!!
-Hijo cuánto es 2 por 2?
-Empate
-Y 2 por 1? -Oferta.
Van dos ceros por la calle y ven a
Un ocho en la acera de enfrente. Un cero le
dice al otro: ! Mira ese qué chulo:
con cinturón!
¿Cuál es el colmo de un matemático?
que siembre una planta
y le salga la raíz cuadrada.
Dos perros se encuentran en un camino.
Uno de ellos llevaba una bolsa al hombro.
- '¿Qué tienes en la bolsa?' - dice el otro.
- 'Pollos' - responde el primero.
- 'Si acierto cuantos llevas, ¿puedo quedarme con uno?'
- 'Si aciertas, puedes quedarte con los dos.'
- 'Bueno, pues.... ¡Cinco!
En una fiesta de funciones está bailando
"seno de x" con "coseno de x", "Seno de x"
se da cuenta de que "e a la x" está sentada solo a un costado de la pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice:
- Ven a bailar ¡INTEGRATE! - y él le responde apesadumbrado:
- ¿Para qué? Si da igual.
Un psiquiatra le pregunta a unos locos:
-¿Cuánto es 2 x 2?
-Florencia-dice el primer loco
-Aburrimiento-dice otro loco
Y un tercero dice:
-Cuatro
-Muy bien-dice el médico-pero, ¿cómo lo calculó?
-Fácil, multipliqué Florencia x aburrimiento.
