COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE TLAXCALA PLANTEL 03
^Calculo integral^
Aplicaciones de la diferencial y la integral
Dany Karen Alvarez Moreno
Rosendo Jiménez Ortega
613
Turno: Vespertino
Calificación: _________
Calpulalpan Tlaxcala a 21de enero del 2012
INTRODUCCION
Por lo general, en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral con respecto a las carreras de economía, demografía, administración y actuaría, se tiene que, los cursos se basan en los conceptos puramente matemáticos o físicos, lo que da como resultado que los alumnos de dichas carreras tengan un alto índice de reprobación en las materias de cálculo. El índice de reprobación en los cursos de cálculo de los estudiantes de las carreras antes mensionadas es muy alto ya que se debe a diversas causas, que considerando sólo el lado del estudiante pueden ser: la mala preparación en el nivel medio superior, la falta de estudio de la materia, la falta de interés, el poco tiempo que le dedican a su estudio y la falta de asistencia a las clases.
Al considerar que los cursos de cálculo tradicionales influyen de manera importante en el alto índice de reprobación de la materia, y dado que el enfoque común se da a través de temas de la física o de las matemáticas ( lo que es muy natural ya que fueron los problemas físicos, principalmente, los que dieron origen al cálculo), dicha motivación no es suficiente para los estudiantes de dichas carreras, pues consideran que el cálculo tiene poca aplicación a su disciplina. Es cierto que algunos profesores incluyen en su exposición algunos problemas adecuados para motivar a los estudiantes de las carreras socio-económicas pero, generalmente, no es suficiente ya que la inclusión de tales problemas a veces no es natural o resulta ser tardía y cuando se llega a estos problemas, el interés en los estudiantes por los cursos de cálculo ha decaído.
El presente trabajo tiene por objeto que los estudiantes encuentren una motivación más genuina, con base en problemas similares a los de la física que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje, y a ejercicios que les ayuden a desarrollar y rearmar los conceptos básicos del cálculo y, además, que los estudiantes de física y matemáticas también puedan tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que se le puede dar al cálculo.
Asimismo, se pretende que el profesor de cálculo tenga un material que le ayude a enriquecer el enfoque de su materia y que, aparte de motivar a sus alumnos de las carreras socio-económicas, brinden más posibilidades de aplicación a los alumnos de las carreras de física y matemáticas, y así puedan apreciar mejor la potencialidad del cálculo. De esta forma se considera que se ayudaría a abatir el índice de reprobación anteriormente señalado. En los siguientes capítulos se muestran diversas aplicaciones de los temas de funciones, derivadas.
Aplicaciones de la diferencial y la integral
Inicio
- Aplicaciones a la Biología:
Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
Crecimiento Biológico:
Ejemplo:
Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
| Edad | Altura (pul) |
| Nacimiento | 19.4 |
| 1 año | 31.3 |
| 2 años | 34.5 |
| 3 años | 37.2 |
| 4 años | 40.3 |
| 5 años | 43.9 |
| 6 años | 48.1 |
| 7 años | 52.5 |
| 8 años | 56.8 |
solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1
,2 las edades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1 = 40.3 Y2 = 56.8.
Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.
Problemas de Epidemiología:
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.
Formulación Matemática:
Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
N = Ni + Nu
La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que:
dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N
Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
Ni = N _1 + (N/No - 1)e
- Aplicaciones a la Economía:
En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.
Oferta y Demanda
Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t.
El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Esta demanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sino también de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, esto es, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende a incrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:
D = (p(t)),p´(t)
Llamamos la función de demanda.
Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios más altos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:
S = g(p(t), p´(t)
Llamamos g a la función oferta.
Principio económico de la oferta y la demanda:
El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por la condición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática esto quiere decir:
(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))
Las formas que debería tener y g son las siguientes:
D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3
S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3
donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la siguiente expresión:
A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3
(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3
Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:
p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2
Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como resultado:
p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e
- Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecen constantes en todo tiempo.
- Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.
- Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medida que t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factores económicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 -A3.
Ejemplo:
La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,
48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
Inventarios:
Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.
Formulación Matemática:
Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t. Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemos que:
Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).
S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.
D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.
Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por los consumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"t respectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran ("t)² y mayores.
Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:
S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.
Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.
tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.
- Aplicaciones a la Química:
Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
- Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
- ¿Cuanta sal está presente después de 10min?
- ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
Formulación Matemática:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:
2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:
dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
solución:
Usando el método de separación de variables, tenemos:
" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,
- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
Mezclas químicas:
Ejemplo:
Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
La formulación completa es:
dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
solución:
La separación de variables produce:
" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx
= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:
60 - x / 15 - x = C e
Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así
( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e
Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 - (2/3)³t]
1 - (1/4)(2/3)³t
Cuando t!", x!15lb.
a Aplicaciones flujo de calor en estado estacionario considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor especifico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario.
Ejemplo:
Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo?
- Aplicaciones a la física:
Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg = - kx + mg - ks = - kx cero
Movimiento Vibratorio Amortiguado:
El estudio del movimiento armónico libre es un tanto irreal puesto que el movimiento descrito por la ecuación - kx + mg - ks = - kx supone que no actúan fuerzas retardados sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté suspendida en un vacío perfecto, por lo menos habrá una fuerza opuesta debida al medio que la rodea. Por ejemplo, como muestra la figura 5.8, la masa m podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un mecanismo de amortiguación.
Ejemplo:
Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento.
solución:
Por la ley de Hooke tenemos:
8 = k (2), k = 4lb/pie
y por m = W/g
m = 8/32 = 1/4slug.
En consecuencia, la ecuación diferencial del movimiento es:
1/4 d²x/dt² = - 4x - 2 dx/dy ó bien d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0
Las condiciones iniciales son:
x(0) = 0, dx/dt% = - 3
%t = 0
Ahora bien, la ecuación auxiliar de d²x/dt² + 8 dx/dt + 16x = 0 es:
m² + 8m + 16 = (m + 4)² = 0
De modo que m1 y m2 = - 4. Por lo tanto, el sistema está críticamente amortiguado y: x(t) = - 3te es la ecuación de movimiento.
DESARROLLO
1 APLICACIONES A LA ECONOMÍA.
Cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización, que puede ser de tipo comercial, industrial, etc.
1.1.1 Funciones Costo.
Ahora se considera distintos tipos de costo, que son funciones del siguiente tipo:
| Función costo total. | | |
| La función costo total Q(x) | es una relación cuyo dominio es un su intervalo A de R+ que | |
| representa la cantidad de producción y cuyo condominio es R+ = (0; 1)1; es decir, | ||
| | + | + |
| | Q : A ½ Rx | ! RQ(x) |
| | | ! |
Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra de nada en términos de dos componentes : costo variable y costo …bajo. Donde los costos variables representan los costos de las materias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los costos bajos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del edición y manutención de la organización. Ambas componentes deben sumarse para obtener el costo total, así:
Costo total = Costo variable + Costo bajo
Observación : Es claro que el dominio de la función costo es un subconjunto de los números reales (en la práctica es un conjunto discreto); por esta razón los economistas aproximan las funciones denidas en este conjunto por medio de métodos estadísticos o por extrapolación.
Las funciones costo tratadas en este contexto son polinomiales o exponenciales y sus propiedades son:
1.- Cuando la cantidad de unidades producidas x es igual a cero, el costo total es nulo o positivo, es decir Q(0) ¸ 0: Si Q(0) =6 0, entonces Q(0) representa los costos …jos de producción.
2.- El costo total es no decreciente ( se incrementa a medida que aumenta x) y dentro de un intervalo en donde el costo de los insumos es constante, la función costo total es creciente..
3.- Si la función costo total es exponencial o polinomial a lo más de grado dos, entonces, el costo total por producir una cantidad grande de cualquier artículo alcanza un punto a partir del cual si x crece, la función costo total crece con mayor rapidez, sin embargo, para funciones costo total, polinomiales, de grado mayor que dos el comportamiento puede ser distinto, como es el caso de la función costo total cúbica, como se puede ver en la página ( ) de la sección sobre el dibujo de grá…cas.
Considérese un costo total dado por la siguiente relación
Q(x) = (a + b)x + cf :
donde a representa los costos de la materia prima, b los costos de la mano de obra y costos bajos, así tenemos los siguientes
EJEMPLOS :
1.- Una empresa desea adquirir un auto más, para el reparto de sus productos; el costo de adquisición del nuevo auto es de $50,000 se ha estimado que el costo por operar el auto es de $2 por kilómetro recorrido y que puede recorrer 100,000 kilómetros antes del primer ajuste. Determinar la función costo total para este caso, considerando la obtención y operación del nuevo auto.
Solución:
50,000 representa el costo total …bajo.
2 representa el costo total variable.
Sea x el número de kilómetros recorridos, entonces :
Q(x) = 2x + 50; 000 donde x 2 (0; 100 000) ½ R+:
representa el costo del auto al recorrer x kilómetros.
2.- En una fábrica se desea encontrar la función costo total Q(x) para una máquina que tiene un valor en libros de $10,000, un costo por combustible de $5 por semana, un costo por el pago del operador de $10 por semana y cuenta con garantía de 5 años. Determinar la función costo total que represente el caso anterior.
Solución:
Sea x el número de semanas que va a estar en funcionamiento la máquina, 5 años son 260 semanas, entonces,
Q(x) = 15x + 10; 000 donde x 2 (0; 260) ½ R+;
representa el costo de la máquina si se utiliza x semanas. Función costo promedio.
Anteriormente se de…unió la función costo total Q(x). Ahora se den una función q(x) que se llama función costo promedio, la cual se re…ere al costo por producir una sola unidad, es decir,
q : A ½ R+ ! R+
x ! q(x)
donde,
q(x) = Q(x): x
Es claro que los valores del dominio no son arbitrariamente grandes ya que representan la cantidad de producción de un artículo, y la cota superior de dicho intervalo está determinada por el productor al tomar en cuenta la cantidad máxima que puede producir.
EJEMPLOS
Determinar la función costo promedio de las funciones vistas en los ejemplos anteriores. 1.- La función costo total está representada por
| | | Q(x) = 2x + 50; 000 | | ||
| la función costo promedio es, | | | | | |
| Q(x) = 2 + | 50; 000 | , | donde x 2 (0; 100 000) ½ R+: | | |
| x | | | |||
que representa el costo del auto por cada kilómetro recorrido.
2.- La función costo total está representada por
Q(x) = 15x + 10; 000
la función costo promedio es,
| Q(x) = 15 + | 10; 000 | ; | donde x 2 (0; 260) ½ R+; | |
| x | |
que representa el costo semanal de la máquina.
1.1.2 FUNCIONES DEMANDA E INGRESO.
Función demanda.
De…mínimos como demanda a la cantidad de un artículo que un individuo está dispuesto a comprar en un precio específico.
La función demanda d = x(p) es una relación matemática que expresa la variación de demanda de un producto, que cambia según el precio al que se venda, donde su dominio es un subintervalo B de R+ que representa el precio del artículo y cuyo codominio es R+, es decir,
x : B ½ R+ ! R+ ;
p ! x(p)
donde x(p) es la función demanda que representa la cantidad demandada en función del precio. Observación : Análogamente a lo que sucede con los costos, el dominio de la función de-manda es un subconjunto de los números reales (en la práctica es un conjunto discreto); por esta razón los economistas aproximan las funciones de…venidas en este conjunto por medio de
métodos estadísticos o por extrapolación.
De lo anterior podemos determinar la función inversa ( que también es una función demanda d = p(x)) que es,
x¡1 : R+ ! B ½ R+
x ! p(x)
donde p(x) representa el precio en función del número de unidades demandadas x:
La ley de demanda dice que es invariable utilizar el precio en función de la cantidad o utilizar la cantidad en función del precio, por tanto las funciones demanda anteriores son equivalentes.
Función ingreso total.
El ingreso de una organización es el dinero que se obtiene por la venta de sus productos o por la prestación de sus servicios.
El ingreso total R es una relación cuyo dominio es un subintervalo D de R+;que representa la cantidad vendida y cuyo codominio es R+; es decir,
R : D ½ R+ ! R+
x ! R(x)
Para cualquier función demanda p(x), el ingreso total será el producto de x por p(x); esto
es:
R(x) = xp(x);
donde el precio de venta varía según el número de unidades vendidas.
Propiedades de las funciones ingreso:
1.- La función ingreso total depende de la función demanda que depende del número de unidades vendidas, es decir, el ingreso depende del precio al que se venda las unidades.
2.- Si tenemos una función demanda que sea un polinomio de grado n, la función ingreso total es siempre de grado n + 1.
3.- Cuando la cantidad demandada x aumenta, el ingreso total es creciente hasta un punto x¤; de la demanda, a partir del cual decrece.
Considérese una función demanda dada por la siguiente relación
x(p) = b ¡ ap donde p 2 (0; b=a);
b representa la demanda total y a es una constante que nos indica cómo cambia la demanda al incrementarse en una unidad el precio, con lo que tenemos los siguientes.
EJEMPLOS
1.- Una empresa cuenta con 5,000 artículos disponibles para su venta y calcula que por unidad de cambio en el precio, la demanda varía en 10 unidades, determinar la función demanda que represente el caso anterior.
Solución:
Como la cantidad máxima que se puede vender es 5,000 y como a cada unidad de incremento en el precio la demanda disminuye en 10 unidades, la demanda queda representada por la función
x(p) = 5; 000 ¡ 10p donde p 2 (0; 500) ½ R+:
2.- Determinar la función inversa del ejemplo anterior y determinar la función ingreso total.
Solución:
La función inversa es,
| x | donde x 2 (0; 5000) ½ R+ | |
| p(x) = 500 ¡ 10 | |
x representa la cantidad de artículos vendidos y p(x) representa el precio del artículo si se vende
| x unidades. | | |
| La función ingreso total es, | | |
| x2 | donde x 2 (0; 5000) ½ R+ | |
| R(x) = 500x ¡ 10; | |
que representa el ingreso obtenido con la venta de x unidades.
3.- El precio de un seguro de vida varía de acuerdo a la siguiente función de demanda, p(x) = 3; 000 ¡ 20x, donde x 2 R+ y representa la cantidad de seguros vendidos, determinar la función ingreso total.
Solución:
El ingreso total queda representado por
R(x) = 3; 000x ¡ 20x2 ; donde x 2 (0; 150) ½ R+;
representa el ingreso obtenido al vender x seguros de vida.
Función ingreso promedio.
El ingreso promedio es el ingreso obtenido por cada unidad vendida y es una función r(x) cuyo dominio es un subintervalo D de R+ y cuyo codominio es R+, es decir,
r : D ½ R+ ! R+
x ! r(x)
donde,
r(x) = xp(x) = p(x); x
así, el ingreso promedio también representa un precio por unidad. Es claro que la grá…ca del ingreso promedio es igual a la grá…ca de la demanda.
EJEMPLOS
Determinar la función ingreso promedio de las funciones ingreso total de los ejemplos ante-riores.
1.- La función ingreso total es,
| x2 | donde x 2 (0; 5000) ½ R+; | |
| R(x) = 500x ¡ 10 ; | | |
| la función ingreso promedio es, | | |
| X | donde p 2 (0; 5000) ½ R+; | |
| r(x) = 500 ¡ 10 ; | |
y representa el ingreso promedio por la venta de un artículo.
2.- La función ingreso total es,
R(x) = 3; 000x ¡ 20x2 ; donde x 2 (0; 150) ½ R+;
la función ingreso promedio es,
r(x) = 3; 000 ¡ 20x; donde x 2 (0; 150) ½ R+;
y representa el ingreso obtenido por la venta de un seguro de vida.
1.1.3 FUNCION BENEFICIO.
Función beneficio total.
El beneficio o ganancia de una organización es la cantidad de dinero que se obtiene al producir y vender cierta cantidad de artículos o servicios.
La función bene…cio total G(x) es una relación que tiene por dominio un subintervalo E = A\D de R+ , donde A es el dominio de la función costo y D es el dominio de la función ingreso, que representa la ganancia obtenida al producir y vender x productos y su codominio es R+; es decir,
G : E ½ R+ ! R+
x ! G(x)
donde,
G(x) = R(x) ¡ Q(x):
Cuando el ingreso total es mayor que el costo total, el bene…cio será positivo; en este caso se llama ganancia o utilidad neta. Si el costo total es mayor al ingreso total, entonces se llama pérdida neta o dé…cit.
EJEMPLO
Un actuario ha creado un nuevo diseño para los seguros de vida . Según sus estudios realizados, la demanda anual de los seguros de vida dependerá del precio al que se venden. La función de demanda ha sido estimada de la siguiente manera
x(p) = 100; 000 ¡ 200p donde p 2 (0; 500) ½ R+;
x es el número de unidades demandadas al año y p representa el precio en pesos. Los estudios realizados indican que el costo total de la produción de x seguros de vida durante un año está representada por la función
Q(x) = 150 + 100x + 0:003x2 x 2 (0; 100) ½ R+:
Se quiere formular la función bene…cio G(x) que expresa la ganancia anual en función del número de unidades x que se producen y se venden.
Para obtener la función bene…cio total se tiene que desarrollar una función que exprese la ganancia G(x) en términos del número de unidades demandadas x, para lo cual se cuenta con la función costo total Q(x) y, falta determinar la función de ingreso total expresada en términos de x:
El ingreso total queda determinado por
R(x) = xp(x);
en donde aparece p(x) y, como lo que se tiene es x(p) entonces se procede a determinar x¡1(p) para expresar a p como función de x, es decir,
x(p) = 100; 000 ¡ 200p;
por tanto,
| x¡1(p) = p(x) = 500 | ¡ | 0:005x; | donde x | 2 | (0; 100 000) | ½ | R+: | |
| | | | | | |
Así, la función ingreso total queda expresada de la siguiente manera,
R(x) = 500x ¡ 0:005x2 ; donde x 2 (0; 100 000) ½ R+;
y la función bene…cio total es
| G(x) | = | R(x) ¡ Q(x) | |
| G(x) | = | ¡0:008x2 + 400x ¡ 150 | donde x 2 (0; 100) ½ R+; |
que representa la ganancia total G(x) en función del número de pólizas x demandadas y vendidas en el año:
Función beneficio promedio.
El beneficio promedio es una función g(x) que representa la ganancia obtenida al producir y vender una unidad, tiene por dominio un subintervalo E contenido en R+ que representa el número de unidades producidas y vendidas, y tiene por codominio a R+, es decir,
g : E ½ R+ ! R+
x ! g(x)
donde,
g(x) = R(x) ¡ Q(x) : x
1.2 APLICACIONES A LA DEMOGRAFÍA Y LA ACTUARÍA.
1.2.1 Grupos de edad.
En casi todas las funciones que se manejan en demografía, la variable que se emplea es la edad t de las personas, por esta razón es importante analizar los tipos de grupos de edad que se utilizan.
Cuando se presenta información demográ…ca clasi…cada por grupos de edad, por ejemplo la información obtenida en un censo, los intervalos de edades suelen presentarse en dos formas
distintas.
La más general es la que se muestra a continuación,
Grupos de edades Población
0 ¡ 4 p1
5 ¡ 9 p2
10 ¡ 14 p3
En este caso los intervalos se re…eren a los años cumplidos por las personas. Es claro que la variable t (edad cumplida) sólo puede tomar valores discretos y los intervalos de edad son cerrados.
Otra forma, menos empleada, es la siguiente:
Grupos de edades Población
0 ¡ 5 p1
5 ¡ 10 p2
10 ¡ 15 p3
En este caso los intervalos se re…eren a edades exactas. La variable t (edad exacta) es continua y los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha.
En demografía el tipo de funciones que se manejan son aproximaciones de tipo estadístico a los puntos conocidos de las funciones utilizadas ya que sólo se conocen puntos de las funciones por ser datos anuales o decenales y basados en experiencias estadísticas.
El objetivo de este tema consiste en sustituir las sucesiones de magnitudes, como lo son las de la tabla de mortalidad (fStg; fdtg; fqtg) por funciones de signi…cado análogo, pero con todas las propiedades (continuidad, derivabilidad, etc.) que faciliten su manejo y su utilidad.
En demografía muchas funciones presentan un comportamiento esencialmente discontinuo, como por ejemplo, la población total N(t) (entre otras) que sólo puede tomar en el tiempo.
valores enteros y positivos. No obstante, para trabajar con las herramientas del cálculo se hace la abstracción teórica de que la variación de la población de estas funciones es continua, ya que, aunque los datos son discretos, en la realidad se comportan de manera continua.
| 1.2.2 | Función supervivencia. | | | ||
| El conjunto | fStg | determinado por la cantidad de personas de edad | t | se puede sustituir | |
por la función S(t) de…nida para todos los valores conocidos de la edad t, generalmente los números enteros de los años en que esta última cantidad queda de…nida2. Desde un punto de vista práctico, lo anterior equivale a ajustar una curva que pase por todos los puntos para los cuales se ha de…nido St:
La función de supervivencia S(t) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A ½ R+ que consta de la población cuya edad es la que se considera y cuyo dominio es R+ el que consta
| de la cantidad de personas de edad t, | es decir, | |
| | + | + |
| S : A ½ Rt | ! RS(t); | |
| | | ! |
Esta función representa la población total de edad t que sobrevive de una población inicial S(0), bajo ciertas condiciones de vida.
| 1.2.3 | | Función defunción. | |
| El conjunto | fdtg determinado por la cantidad de personas que fallecen antes de cumplir la | ||
| edad | t | se puede sustituir por la función d(t) de…nida para todos los valores conocidos de | |
la edad t, generalmente los números enteros de los años en que esta última cantidad queda de…nida.
La función de defunción d(t) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A ½ R+ cuyos elementos representan la edad de la población que se considera y su dominio es R+; el que consta de los elementos que representan la cantidad de personas que fallecen antes de cumplir
| la edad t, | es decir, | |
| | + | + |
| | d : A ½ Rt | ! Rd(t); |
| | | ! |
Esta función representa la cantidad de gente que fallece antes de cumplir la edad t, bajo el supuesto de que no existe migración y, está dada por,
d(t) = S(0) ¡ S(t);
es decir, La cantidad de gente que fallece antes de cumplir la edad exacta t es la diferencia de la población inicial y la población total de edad t:
Se han buscado expresiones analíticas satisfactorias para la función S(t), como por ejemplo los ensayos de Bourgeois-Pichat3 para representar la mortalidad durante el primer año de vida; dicho autor obtuvo la expresión
S(0) ¡ S(t) = a + b log3 (t + 1);
la que es válida, aproximadamente, de …nes del primer mes a …nes del primer año (expresando a t en días) y que le ha permitido separar las defunciones endógenas (causa internas del propio individuo que le causan la muerte, como son: problemas de herencia, parto y embarazo) de las exógenas (causa externas del propio individuo que le causan la muerte, como son las condiciones
de vida); a representa las causas endógenas y b las exige hasta el año t, generalmente, los números enteros de los años en que esta última cantidad queda de…nida se determina mediante los censos de población y bajo el supuesto de que no existe migración.
La función de población total N(t) es una relación cuyo dominio es un subintervalo B ½ R+ en el que los elementos representan los años en que se considera una población y cuyo dominio es R+ el que consta de la cantidad de personas que sobrevive en la población y los nacimientos ocurridos hasta el año t, es decir,
N : B ½ R+ ! R+ ;
t ! N(t)
esta función representa la cantidad de personas en una población en el año t:
Un modelo simple de población total está dado por
N (t) = N(0)(1 + i)t;
en donde N(0) es la población inicial que se incrementa a una tasa anual del i%.
EJEMPLO
Si se considera que en una población la población inicial es de 100 habitantes y crece a una tasa anual del 3%, calcular la población total en el año t = 10:
Solución:
La función de población total es de la forma
N(t) = 100(1 + 0:03)t;
y la población total en el año t = 10 es
N(10) = 100(1 + 0:03)10 = 134:4 personas,
pero, como no puede considerarse fracciones de personas, se considera que la población total en el año t = 10 es de 134 habitantes.
Si se considera que la población se incrementa continua y uniformemente en el transcurso del año, entonces la función de sobrervivencia toma la siguiente forma,
N(t) = N(0)ert;
en donde N(0) es la población inicial, r es la tasa anual de crecimiento de la población y t es el año en que se considera la población.
EJEMPLO
Si una población de 50,000 personas se incrementa continuamente en el tiempo a una tasa anual del 4%, determinar la población total al trancurrir 5 años.
Solución:
La función de población total es de la forma
N(t) = 50; 000e0:04t;
y la población total en el año t = 5 es,
N(10) = 50; 000e0:04(5) = 61; 070 habitante
1.2.5 Función fecundidad.
f (x) = c(x ¡ s)(s + n ¡ x)2 ; para 0 · s · x · s + n
En donde f(x) es la fecundidad de acuerdo a la edad de las mujeres, x es la edad de la mujer, s el comienzo de la vida reproductiva, n la amplitud del intervalo de reproducción y c un parámetro positivo que depende del nivel de la fecundidad o número de hijos promedio por mujer.
Esta función ha sido utilizada con frecuencia en modelos teóricos, por William Brass5, para describir en forma aproximada la variación de la fecundidad según la edad de las mujeres.
EJEMPLO
Calcular la variación de la fecundidad de una población entre las edades 25 y 30, si el comienzo de la vida reproductiva es a los 15 años, la amplitud del intervalo de reproducción es de 25 años y el nivel de fecundidad de dicha población es de 0.5.
Solución
Con base en los datos anteriores, se tiene que la fecundidad de la población es de,
f(x) = 0:5(x ¡ 15)(40 ¡ x)2;
la fecundidad de las mujeres de edad 25 es de,
f (25) = 1; 125 nacimientos,
la fecundidad de las mujeres de edad 30 es de,
f (30) = 750 nacimientos,
y la variación de la fecundidad entre los 25 y 30 añós es de 375 nacimientos, es decir fecundidad disminuye en 375 nacimientos en el intervalo de fecundidad de las edades 25 y 30.
DERIVADAS.
Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y bene…cio marginal.
2.1 APLICACIONES A LA ECONOMÍA.
2.1.1 Costo Marginal.
El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio.
Ahora, supongamos que tenemos una función costo Q(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es:
Q(x + h) ¡ Q(x):
Al cociente
Q(x + h) ¡ Q(x) ; h
se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite del cociente anterior al tender h a cero,
lím Q(x + h) ¡ Q(x);
se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,
Costo marginal = Q’(x)
Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la grá…ca de la función costo, por tanto no es posible, en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la grá…ca de la función costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se conocen en la grá…ca, de la siguiente manera:
Al suponer que se tienen algunos puntos de cierta grá…ca y que no se conoce la función costo a la que corresponden no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales pero, se puede calcular, por extrapolación, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x + 1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad más es :
Q(x + 1) ¡ Q(x):
Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los números naturales y por tanto que x + h 2 N 1, y que además, el punto más próximo a cero es 1, entonces, podemos considerar una aproximación al costo marginal dada por la relación anterior, de la siguiente manera,
Cabe mencionar que, para que ésta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la grá…ca de la función costo sea una curva suave, (dentro de determinado intervalo el com-portamiento de la grá…ca no varía mucho) y se requiere considerar, además, que se producen solamente unidades completas (ver ejemplo 3). En el ejemplo 4 se ilustra el caso en que la función costo no es una curva suave.
EJEMPLOS
1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función
Q(x) = 100; 000 + 1; 500x + 0:2x2
El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo.
Solución:
Utilizando la de…nición de costo marginal, se tiene que es
Q0(x) = 1; 500 + 0:4x;
y el costo por producir 1 auto más es,
Q0(100) = 1; 540 pesos;
esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es,
q(x) = 100; 000 + 1; 500 + 0:2x; x
el costo promedio al producir 100 autos es,
q(100) = 2; 520 pesos;
como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.
2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función, Q(x) = x2 + 2x + 2: Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.
Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla.
Solución:
La función costo marginal es, en este caso,
Q0(x) = 2x + 2;
el costo marginal por producir 1 artículo más es de
Q0(300) = 602 pesos;
la función costo promedio es, en este caso,
q(x) = x + 2 + x2;
y el costo promedio al producir 300 artículos es
q(300) = 302:01 pesos;
es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.
3.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados.
| Solución: | | |
| La función costo total es | Q(x) = x2 + 2x + 2; | |
| el costo por producir 300 artículos es | Q(300) = 90; 602 pesos; | |
| el costo por producir 301 artículos es | Q(301) = 91; 205 pesos; | |
y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidades iniciales es
Q(301) ¡ Q(300) = 603 pesos;
esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad.
Comparando con el resultado anterior, Q(301) ¡ Q(300) = 603 ¼ 602 = Q0(300), se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave.
4.- La función costo total por producir un artículo es Q(x) = 5e0:2x: El costo por producir 50 artículos es Q(50) = 110; 132:33 pesos:
Determinar el costo marginal por producir la siguiente unidad, mediante el uso de la de…ni-ción y mediante el análisis marginal.
Solución:
Por de…nición de la función costo marginal Q0(x) = e0:2x
El costo adicional por producir 1 unidad más es Q0(50) = 22; 026:5 pesos:
Utilizando el análisis marginal el costo por producir una unidad adicional es Q(51)¡Q(50) = 24; 383:6 pesos.
Al comparar resultados, se tiene que Q0(50) =6 Q(51) ¡ Q(50), así, se tiene que en con-traposición a lo obtenido en el ejemplo 3 esta aproximación no es buena, es de esperarse este resultado pues la curva de la función no es una curva suave.
2.1.2 Ingreso Marginal.
De manera análoga a la de…nición de costo marginal se puede de…nir el ingreso marginal, que es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio. Observemos que si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces, el ingreso marginal siempre es igual al precio.
Ahora, supongamos que tenemos una función ingreso R(x) que representa el ingreso por la venta de x unidades y x es la cantidad vendida, de tal manera que el ingreso por vender h unidades adicionales es,
R(x + h) ¡ R(x):
Al cociente
R(x + h) ¡ R(x); h
lím R(x + h) ¡ R(x);
entonces, a este límitese le llama ingreso marginal por vender h unidades adicionales, es decir,
Ingreso marginal = R0(x):
Análogamente, como en la función costo, en la práctica sólo se conocen puntos aislados de la grá…ca de la función ingreso, por tanto, no es posible en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la grá…ca de la función ingreso total, es por eso que recurrimos (como en el caso de la función costo) al análisis marginal.
SECCION HUMORISTICA
"señor, señor tiene pan integral, no pero si quiere le derivo una tostada"
Porque se suicido el libro de matemáticas?
Porque tenía muchos problemas!!!
Porque tenía muchos problemas!!!
-Hijo cuánto es 2 por 2?
-Empate
-Y 2 por 1?
-Oferta.
-Empate
-Y 2 por 1?
-Oferta.
Van dos ceros por la calle y ven a un ocho en la acera de enfrente.
Un cero le dice al otro:
! Mira ese qué chulo: con cinturón!
Un cero le dice al otro:
! Mira ese qué chulo: con cinturón!
¿Cuál es el colmo de un matemático?
que siembre una planta y le salga la raíz cuadrada.
que siembre una planta y le salga la raíz cuadrada.
Dos perros se encuentran en un camino. Uno de ellos llevaba una bolsa al hombro.
- '¿Qué tienes en la bolsa?' - dice el otro.
- 'Pollos' - responde el primero.
- 'Si acierto cuantos llevas, ¿puedo quedarme con uno?'
- 'Si aciertas, puedes quedarte con los dos.'
- 'Bueno, pues.... ¡Cinco!
- '¿Qué tienes en la bolsa?' - dice el otro.
- 'Pollos' - responde el primero.
- 'Si acierto cuantos llevas, ¿puedo quedarme con uno?'
- 'Si aciertas, puedes quedarte con los dos.'
- 'Bueno, pues.... ¡Cinco!
En una fiesta de funciones está bailando
"seno de x" con "coseno de x", "Seno de x" se da cuenta de que "e a la x" está sentada solo a un costado de la pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice:
- Ven a bailar ¡INTEGRATE! - y él le responde apesadumbrado:
- ¿Para qué? Si da igual.
"seno de x" con "coseno de x", "Seno de x" se da cuenta de que "e a la x" está sentada solo a un costado de la pista. Entonces se le acerca amigablemente y le dice:
- Ven a bailar ¡INTEGRATE! - y él le responde apesadumbrado:
- ¿Para qué? Si da igual.
Un psiquiatra le pregunta a unos locos:
-¿Cuánto es 2 x 2?
-Florencia-dice el primer loco
-Aburrimiento-dice otro loco
Y un tercero dice:
-Cuatro
-Muy bien-dice el médico-pero, ¿cómo lo calculó?
-Fácil, multipliqué Florencia x aburrimiento.
-¿Cuánto es 2 x 2?
-Florencia-dice el primer loco
-Aburrimiento-dice otro loco
Y un tercero dice:
-Cuatro
-Muy bien-dice el médico-pero, ¿cómo lo calculó?
-Fácil, multipliqué Florencia x aburrimiento.
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